Phần A: Trắc nghiệm

Trang bị kiến thức cơ bản vững chắc là điều cần thiết để học sinh đạt được thành tích cao trong môn Toán. Vì vậy, phần trắc nghiệm trong đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 luôn là một trong những phần quan trọng và khó khăn nhất đối với các thí sinh. Hãy cùng thử sức với một số câu hỏi trong đề thi này nhé!

Xem Chi Tiết Bài Viết Tại: đề thi hsg toán 8

Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường tròn (O;R) bằng:

A. R
B. R²
C. 2R
D. 2R²

Đáp án đúng: A

Chia se kinh nghiem vuot qua de thi hsg toan 8

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a√3. Khoảng cách từ SA đến mặt phẳng (ABCD) bằng:

A. a
B. a√2
C. a√3
D. a√6

Đáp án đúng: B

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm học 2021-2022

Bài 3: Cho số phức z = 2 + 4i. Tổng của số phức z và số phức đối của z bằng:

A. 4 + 2i
B. 6 + 6i
C. 4 + 0i
D. 6 + 0i

Đáp án đúng: C

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Phần B: Tự luận

Phần tự luận trong đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 có tính tương đối cao, yêu cầu học sinh phải có kiến thức sâu, hiểu biết rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đây là phần đòi hỏi sự sáng tạo, khả năng tư duy và tính logic của các thí sinh. Dưới đây là một số bài tập tự luận trong đề thi.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0 và đường thẳng d': x + y = 0. Gọi M, N lần lượt là hai điểm cắt của d và d' với trục hoành. Tìm tọa độ của điểm I sao cho tam giác MIN là tam giác đều.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√3. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Chứng minh rằng góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (OCD) bằng giữa góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (OBD).
Bài 6: Cho dãy số {u_n} được định nghĩa như sau: u₁ = 2; u_n+1 = u_n + n + 1. Chứng minh rằng u_n = n(n+3)/2 với mọi số nguyên dương n.

Đáp án và lời giải

Để học sinh có thể tự kiểm tra và đối chiếu kết quả, đề thi cần có phần đáp án và lời giải chi tiết cho từng bài tập. Dưới đây là phần đáp án và lời giải cho các bài tập đã đưa ra ở phần A và B.

Bài	Đáp án	Lời giải
1	A	Khi đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn, ta có hai trường hợp: Nếu khoảng cách từ M đến O lớn hơn R, thì ta có đường tròn (M;R) không tiếp xúc với (O;R) và có hai điểm cắt. Nếu khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn R, thì ta có đường tròn (M;R) tiếp xúc với (O;R) tại một điểm duy nhất. Vì khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn R, nên đáp án đúng là A.
2	B	Do SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a√3, nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Từ đó, ta có đường cao của hình chóp vuông là SA = a√3 và đáy là hình vuông cạnh a. Do đó, diện tích đáy của hình chóp S.ABCD là S_ABCD = a². Ta có: khoảng cách từ SA đến mặt phẳng (ABCD) là h_SA = a√2. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAO, ta có: AO = a. Suy ra, diện tích của tam giác vuông SAO là S_SAO = (1/2).a.a = a²/2. Tương tự, ta có: khoảng cách từ SA đến mặt phẳng (OCD) là h_SA = a√2. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAO, ta có: BO = a. Suy ra, diện tích của tam giác vuông SBO là S_SBO = (1/2).a.a = a²/2. Do đó, góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (OCD) bằng góc giữa mặt phẳng (SAO) và mặt phẳng (SBO) là góc vuông (do SA và SB đều vuông góc với mặt phẳng (ABCD)).
3	C	Số phức đối của z là z' = 2 - 4i. Tổng của z và z' là z + z' = 2 + 4i + 2 - 4i = 4. Vì vậy, đáp án đúng là C.
4	(0; 0)	Điều kiện để tam giác MIN là tam giác đều là MN = MI = IN. Ta có: MN = MI = IN = a√2. Gọi I(x_I; y_I) là tọa độ của I. Do I thuộc đường thẳng d' nên x_I + y_I = 0. Từ đó suy ra x_I = -y_I. Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là d(I; d) = \|2x_I - y_I + 1\|/√5. Do MIN là tam giác đều nên d(I; d) = d(I; d') = a√2. Suy ra \|2x_I - y_I + 1\|/√5 = a√2. Từ đó suy ra x_I = (a√5 - 1)/4 và y_I = -(a√5 + 1)/4. Vậy tọa độ của I là I((a√5 - 1)/4; -(a√5 + 1)/4).
5	Điều phải chứng minh	Do hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi nên các cạnh bên SB và SC bằng nhau. Do đó, góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (OCD) cũng bằng góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (OBD). Do SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a√3, nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Từ đó, ta có đường cao của hình chóp vuông là SA = a√3 và đáy là hình thoi cạnh a. Do đó, diện tích của tam giác vuông SAO là S_SAO = (1/2).a.a = a²/2. Tương tự, ta có: diện tích của tam giác vuông SBO cũng bằng a²/2. Do đó, góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (OBD) cũng bằng góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (OBD). Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (OCD) bằng giữa góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (OBD).
6	Điều phải chứng minh	Áp dụng quy nạp, ta có: Đặt u₁ = 2 = 1.2²/2. Giả sử đúng đối với số n: u_n = n(n+3)/2. Chứng minh đúng đối với số n+1: u_n+1 = u_n + n + 2 = n(n+3)/2 + n

là từ khó trong bài.

#đề_thi_hsg_toán_8, #đềthihsgtoán8, #Ngan_Hang_Đe_Thi_EMO, #NgânHàngĐềThiEMO, #Ngân_Hàng_Đề_Thi_EMO